543の平方根は何ですか？

回答：

#sqrt（543）~~ 23.30236#

の素因数分解 #543# です：

#543 = 3 * 181#

それはより大きい二乗係数を持っていないので #1#、の平方根 #543# 単純化することはできません。

それは間の非合理的な数です #23 = sqrt（529）# そして #24 =平方メートル576#.

線形補間すると、次のように近似できます。

#sqrt（543）~~ 23+（543-529）/（576-529）= 23 14/47 ~~ 23.3#

より正確にするために、 #p_0 / q_0 = 233/10# そして式を使って繰り返します。

#{（p_（i + 1）= p_i ^ 2 + 543 q_i ^ 2）、（q_（i + 1）= 2p_iq_i）：}#

そう：

#{（p_1 = p_0 ^ 2 + 543 q_0 ^ 2 = 233 ^ 2 + 543 * 10 ^ 2 = 54289 + 54300 = 108589）、（q_1 = 2 p_0 q_0 = 2 * 233 * 10 = 4660）：}#

これを1回繰り返すだけで十分です。 #7# （ほぼ #8#）有効数字：

#sqrt（543）~~ p_1 / q_1 = 108589/4660 ~~ 23.30236#

もっと正確にしたいのなら、もう一度繰り返すだけです。

脚注

の正確な繰り返し連続分数 #sqrt（543）# です：

#543 = 23; bar（3,3,3,1,14,1,3,3,3,46）#

そこからペルの方程式の解を見つけることが可能です。

#669337^2 = 543 * 28724^2 + 1#

どれが #sqrt（543）~~ 669337/28724# 非常に効率的な近似です。