回答：
下記参照
説明：
#e ^ f（x）+ f '（x）+ 1 = 0#
#e ^ y + y '+ 1 = 0、qquad y = f（x）#
#y '= - 1 - e ^ y#
#（dy）/（1 + e ^ y）= - dx#
#z = e ^ y、qquad dz = e ^ y dy = z dy#
#int（dz）/（z（1 + z））= - int dx#
#int dz 1 / z - 1 /（1 + z）= - int dx#
#ln（z /（1 + z））= C - x#
#e ^ y /（1 + e ^ y）= e ^（C - x）#
IVを使う：
#e ^ y（1 - e ^（ - x））= e ^（ - x）#
#e ^ y = e ^（ - x）/（1 - e ^（ - x））= 1 /（e ^ x-1）#
#y = ln（1 /（e ^（x）-1））#
の 見せる ビット
#I = int_（ln2）^ 1 e ^ y（x + 1） dx#
#= - int_（ln2）^ 1（1+ x）（1 + y '） dx#
#= - int_（ln2）^ 1 1+ x dx - 色（赤）（int_（ln2）^ 1 y ' dx） - int_（ln2）^ 1 xy' dx#
#色（赤）（int_（ln2）^ 1 y ' dx）= ln（1 /（e ^（x）-1）） _（ln2）^ 1 = - ln（e-1）#
#implies I - ln（e-1）= - int_（ln2）^ 1 1+ x dx - int_（ln2）^ 1 xy ' dx#
#implies I lt ln（e-1）#
回答：
#f（x）= c - x - ln（1 - e ^（c - x））#
私はまだ不平等を証明することはできませんでしたが、私はもっと強い不平等を見つけました。
説明：
みましょう #g（x）= e ^（f（x））# そのため、連鎖ルールを使用して：
#g '（x）= f'（x）e ^（f（x））#
今注意してください。
#f（x）= ln（g（x））#, そう：
#f '（x）=（g'（x））/（g（x））#
元の方程式を代入すると、
#g（x）+（g '（x））/（g（x））+ 1 = 0#
そして定義により #g（x）> 0#:
#（dg）/ dx + g ^ 2（x）+ g（x）= 0#
これは分離可能です：
#（dg）/ dx = -g ^ 2-g#
#（dg）/（g（g + 1））= - dx#
#int（dg）/（g（g + 1））= -int dx#
部分分数を使用して最初のメンバーを分解する：
#1 /（g（g + 1））= 1 / g -1 /（g + 1）#
そう：
#int（dg）/ g-整数（dg）/（g + 1）= -int dx#
#ln g - ln（g + 1）= -x + c#
対数の性質を使う：
#ln（g /（g + 1））= - x + c#
#g /（g + 1）= e ^（c-x）#
今のために解決 #g#:
#g = e ^（c-x）（g + 1）#
#g（1-e ^（c-x））= e ^（c-x）#
そして最後に：
#g（x）= e ^（c-x）/（1-e ^（c-x））#
今：
#f（x）= ln（g（x））= ln（e ^（cx）/（1-e ^（cx）））= ln（e ^（cx））-ln（1-ce ^ -x） ）#
#f（x）= c - x - ln（1 - e ^（c - x））#
決定できます #c# 条件から：
#lim_（x-> 0）f（x）= + oo#
として：
#lim_（x-> 0）c -x -ln（1-e ^（c-x））= c-ln（1-e ^ c）#
そうでない限り、これは有限です #c = 0#.
その後：
#f（x）= -x-ln（1-e ^ -x）#
今積分を考えます：
#int_（ln2）^ 1 e ^（f（x））（x + 1）dx = int_（ln2）^ 1 e ^ -x /（1-e ^ -x）（x + 1）dx#
として：
#d / dx（e ^ -x /（1-e ^ -x）（x + 1））= - （x * e ^ x + 1）/（e ^ x-1）^ 2#
積分区間では関数は厳密に減少しているので、その最大値 #M# のために起こる #x = ln2#:
#Ｍ （ｅ ｌｎ ２ ／（１ ｅ ｌｎ ２））（ｌｎ ２ １） （１／２）／（１ １ ／ ２）（ｌｎ ２ １） （ｌｎ ２ １）#
その後：
#int_（ln2）^ 1 e ^（f（x））（x + 1）dx <= M（1-ln2）#
#int_（ln2）^ 1 e ^（f（x））（x + 1）dx <= 1-ln ^ 2 2#
回答：
これはもう一つです
説明：
#a）#
#e ^ f（x）+ f '（x）+ 1 = 0# #<=> ^（* e ^（ - f（x））#
#1 + f '（x）e ^（ - f（x））+ e ^（ - f（x））= 0# #<=>#
#-f '（x）e ^（ - f（x））= 1 + e ^（ - f（x））# #<=>#
#（e ^（ - f（x））） '= 1 + e ^（ - f（x））# #<=>#
#（1 + e ^（ - f（x））） '= 1 + e ^（ - f（x））##<=> ^（x> 0）#
そうそこに #c##に##RR#, #1 + e ^（ - f（x））= ce ^ x#
- #lim_（xto0）e ^（ - f（x））= _（xto0、y - > - oo）^（ - f（x）= u）lim_（uto-oo）e ^ u = 0#
そして #lim_（xto0）（ - e ^（ - f（x））+ 1）= lim_（xto0）ce ^ x# #<=>#
#c = 1#
したがって、
#1 + e ^（ - f（x））= e ^ x# #<=>#
#e ^（ - f（x））= e ^ x-1# #<=>#
#-f（x）= ln（e ^ x-1）# #<=>#
#f（x）= - ln（e ^ x-1）# #色（白）（aa）#, #x> 0#
#b）#
#int_ln2 ^ 1（e ^ f（x）（x + 1））dx <##ln（e-1）#
#f（x）= - ln（e ^ x-1）#,#x> 0#
#f '（x）= - e ^ x /（e ^ x-1）#
#-f '（x）= e ^ x /（e ^ x-1）> =（x + 1）/（e ^ x-1）# ''なし#=#''
- #int_ln2 ^ 1f '（x）dx> int_ln2 ^ 1（x + 1）/（e ^ x-1）dx# #<=>#
#int_ln2 ^ 1（x + 1）/（e ^ x-1）dx <## - f（x） _ ln2 ^ 1 = -f（1）+ f（0）= ln（e-1）#
しかし我々は持っています
#e ^ f（x）（x + 1）= e ^（ - ln（e ^ x-1））（x + 1）=（x + 1）/（e ^ x-1）#
など 、 #int_ln2 ^ 1（x + 1）e ^ f（x）dx <##ln（e-1）#
