次数nの多項式の判別式の一般式は何ですか？

回答：

説明を参照してください…

説明：

多項式の判別式 #f（x）# 程度の #n# は、のシルベスター行列の行列式によって記述することができる。 #f（x）# そして #f '（x）# 次のように：

与えられた：

#f（x）= a_nx ^ n + a_（n-1）x ^（n-1）+ … + a_1x + a_0#

我々は持っています：

#f '（x）= na_（n-1）x ^（n-1）+（n-1）a_（n-1）x ^（n-2）+ … + a_1#

のSylvester行列 #f（x）# そして #f '（x）# です #（2n-1）xx（2n-1）# 次の例のように、それらの係数を使用して形成された行列 #n = 4# …

#（（a_4、a_3、a_2、a_1、a_0、0、0）、（0、a_4、a_3、a_2、a_1、a_0、0）、（0、0、a_4、a_3、a_2、a_1、a_0）、 （4a_4、3a_3、2a_2、a_1、0、0、0）、（0,4a_4、3a_3、2a_2、a_1、0、0）、（0、0、4a_4、3a_3、2a_2、a_1、0）、（0 、0、0、4a_4,3a_3,2a_2、a_1））#

それから判別式 #デルタ# は、シルベスター行列の行列式に関して次式によって与えられる。

#Delta =（-1）^（1 / 2n（n-1））/ a_nabs（S_n）#

にとって #n = 2# 我々は持っています：

#Delta =（-1）/ a_2abs（（a_2、a_1、a_0）、（2a_2、a_1,0）、（0,2a_2、a_1））= a_1 ^ 2-4a_2a_0#

（あなたはフォームでもっと認識できるかもしれません #Delta = b ^ 2-4ac#)

にとって #n = 3# 我々は持っています：

#Delta =（-1）/ a_3abs（（a_3、a_2、a_1、a_0、0）、（0、a_3、a_2、a_1、a_0）、（3a_3、2a_2、a_1、0、0）、（0、3a_3） 、2a_2、a_1、0）、（0、0、3a_3、2a_2、a_1））#

#色（白）（デルタ）= a_2 ^ 2a_1 ^ 2-4a_3a_1 ^ 3-4a_2 ^ 3a_0-27a_3 ^ 2a_0 ^ 2 + 18a_3a_2a_1a_0#

二次方程式の判別式（#n = 2#）とキュービックス（#n = 3#）は、多項式の実数、反復数、非実数の複素数の零点の数を正確に示します。

高次多項式の判別式の解釈はさらに限定されていますが、判別式がゼロの場合に限り、多項式はゼロを繰り返しているという性質を常に持ちます。

#色（白）（）#

参考文献

www2.math.uu.se/~svante/papers/sjN5.pdfを参照してください。