F（0）= 1の場合、f（x）= int xe ^（2-x）+ 3x ^ 2 dxとは何ですか？

回答：

#-xe ^（2-x）-e ^（2-x）+ x ^ 3 + 1 + e ^ 2#

説明：

積分の和則を使用し、これらを2つの別々の積分に分割することから始めます。

#intxe ^（2-x）dx + int3x ^ 2dx#

これらのミニ積分の最初のものは部品による積分を使って解かれる：

みましょう #u = x - >（du）/ dx = 1 - > du = dx#

#dv = e ^（2-x）dx-> intdv = inte ^（2-x）dx-> v = -e ^（2-x）#

部品による積分式を使用しています #intudv = uv-intvdu#、 我々は持っています：

#intxe ^（2-x）dx =（x）（ - e ^（2-x）） - int（-e ^（2-x））dx#

#= - xe ^（2-x）+ inte ^（2-x）dx#

#= - xe ^（2-x）-e ^（2-x）#

これらのうちの2番目は、逆べき乗則の場合です。

#intx ^ ndx =（x ^（n + 1））/（n + 1）#

そう #int3x ^ 2dx = 3（（x ^（2 + 1））/（2 + 1））= 3（x ^ 3/3）= x ^ 3#

したがって、 #intxe ^（2-x）+ 3x ^ 2dx = -xe ^（2-x）-e ^（2-x）+ x ^ 3 + C# （統合の定数を追加することを忘れないでください！）

初期条件が与えられます #f（0）= 1#、 そう：

#1 = - （0）e ^（2-（0）） - e ^（2-（0））+（0）^ 3 + C#

#1 = -e ^ 2 + C#

#C = 1 + e ^ 2#

この最後の代入を行って、私たちは私たちの最終的な解決策を得ます：

#intxe ^（2-x）+ 3x ^ 2dx = -xe ^（2-x）-e ^（2-x）+ x ^ 3 + 1 + e ^ 2#