回答：
パラレログラム用 #あいうえお# 面積は
#S = |（x_B-x_A）*（y_D-y_A） - （y_B-y_A）*（x_D-x_A）|#
説明：
我々の平行四辺形を仮定しましょう。 #あいうえお# その4つの頂点の座標によって定義されます - #x_A、y_A#, #x_B、y_B#, #x_C、y_C#, #x_D、y_D#.
平行四辺形の面積を決めるには、その底辺の長さが必要です。 #| AB |# そして高度 #| DH |# 頂点から #D# ポイントへ #H# 側 #AB# （あれは、 #DH_ | _AB#).
まず最初に、タスクを単純化するために、その頂点の位置に移動しましょう。 #A# 座標の原点と一致します。面積は同じになりますが、計算は簡単になります。
そこで、以下の座標変換を行います。
#U = x-x_A#
#V = y-y_A#
そうして （#U、V#すべての頂点の座標は次のようになります。
#A U_A = 0、V_B = 0#
#B U_B = x_B-x_A、V_B = y_B-y_A#
#C U_C = x_C-x_A、V_C = y_C-y_A#
#D U_D = x_D-x_A、V_D = y_D-y_A#
平行四辺形は2つのベクトルで定義されます。
#p =（U_B、V_B）# そして #q =（U_D、V_D）#
底辺の長さを決める #AB# ベクトルの長さとして #p#:
#| AB | = sqrt（U_B ^ 2 + V_B ^ 2）#
高度の長さ #| DH |# として表現することができます #| AD | * sin（/ _ BAD）#.
長さ #広告# ベクトルの長さ #q#:
#| AD | = sqrt（U_D ^ 2 + V_D ^ 2）#
角度 #/_悪い# ベクトルのスカラー（ドット）積に2つの式を使用して決定できます。 #p# そして #q#:
#（p * q）= U_B * U_D + V_B * V_D = | p | * | q | * cos（/ _ BAD）#
そこから
#cos ^ 2（/ _ BAD）=（U_B * U_D + V_B * V_D）^ 2 / （U_B ^ 2 + V_B ^ 2）*（U_D ^ 2 + V_D ^ 2）#
#sin ^ 2（/ _ BAD）= 1-cos ^ 2（/ _ BAD）=#
#= 1-（U_B * U_D + V_B * V_D）^ 2 / （U_B ^ 2 + V_B ^ 2）*（U_D ^ 2 + V_D ^ 2） =#
#=（U_B * V_D-V_B * U_D）^ 2 / （U_B ^ 2 + V_B ^ 2）*（U_D ^ 2 + V_D ^ 2）#
これで、面積を計算するためのすべての要素がわかりました。
ベース #| AB | = sqrt（U_B ^ 2 + V_B ^ 2）#:
高度 #| DH | = sqrt（U_D ^ 2 + V_D ^ 2）* | U_A * V_D-V_A * U_D | / sqrt （U_B ^ 2 + V_B ^ 2）*（U_D ^ 2 + V_D ^ 2）#
面積は彼らの製品です：
#S = | AB | * | DH | = | U_B * V_D-V_B * U_D |#
元の座標では、次のようになります。
#S = |（x_B-x_A）*（y_D-y_A） - （y_B-y_A）*（x_D-x_A）|#
回答：
別の議論
説明：
幾何学的プルーフ
図を考える
3つの頂点（A、B、Dなど）がわかっていれば、平行四辺形ABCDの面積の計算式を簡単に確立できます。
対角BDは平行四辺形を2つの合同な三角形に二分するからです。
平行四辺形ABCDの面積
= 2辺の三角形ABD
= 2 台形BAPQの面積+トラップの面積BQRD - トラップの面積DAPR
=2#1/2（AP + BQ）PQ + 1/2（BQ + DR）QR-1/2（AP + DR）PR#
= #（Y_A + Y_B）（X_B-X_A）+（Y_B + Y_D）（X_D-X_B） - （Y_A + Y_D）（X_D-X_A）#
=#Y_AX_B +キャンセル（Y_BX_B） - キャンセル（Y_AX_A）-Y_BX_A + Y_BX_D +キャンセル（Y_DX_D） - キャンセル（Y_BX_B）-Y_AX_D-キャンセル（Y_DX_D）+キャンセル（Y_AX_A）+ Y_DX_A#
=#Y_A（X_B_X_D）+ Y_B（X_D-XA）+ Y_D（X_A-X_B）#
この公式は平行四辺形の面積を与えます。
ベクトルを考慮した証明
それを考慮して確立することもできます #vec（AB）# そして#vec（AD）#
今
点Aの位置ベクトルw、r、t原点O、 #vec（OA）= X_Ahati + Y_Ahatj#
点Bの位置ベクトルw、r、t原点O、 #vec（OB）= X_Bhati + Y_Bhatj#
点Dの位置ベクトル、原点O、 #vec（OD）= X_Dhati + Y_Dhatj#
今
平行四辺形ABCDの面積
#=ベース（AD）*高さ（BE）= AD * h#
#= AD * ABsintheta = | vec（AD）Xvec（AB）|#
再び
#vec（AD）= vec（OD）-vec（OA）=（X_D-X_A）hati +（Y_D-Y_A）hatj#
#vec（AB）= vec（OB）-vec（OA）=（X_B-X_A）hati +（Y_B-Y_A）hatj#
#vec（AD）#バツ#vec（AB）= （X_D-X_A）（Y_B-Y_A） - （X_B-X_A）（Y_D-Y_A） hatk#
面積= #| vec（AD）#バツ#vec（AB）|#
=#| Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D +キャンセル（Y_AX_A）-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B-キャンセル（Y_AX_A）|#
=#| Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B |#
=#| Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B |#
=#| Y_A（X_B_X_D）+ Y_B（X_D-XA）+ Y_D（X_A-X_B）|#
したがって、同じ式があります
