5a + 12bと12a + 5bを直角三角形の辺の長さとし、13a + kbを斜辺とします。ここで、a、b、およびkは正の整数です。どのようにしてkの最小の可能な値とそのkのためのaとbの最小の値を見つけますか？

回答：

#k = 10#, #a = 69#, #b = 20#

説明：

ピタゴラスの定理によれば、

#（13a + kb）^ 2 =（5a + 12b）^ 2 +（12a + 5b）^ 2#

あれは：

#169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2 = 25a ^ 2 + 120ab + 144b ^ 2 + 144a ^ 2 + 120ab + 25b ^ 2#

#色（白）（169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2）= 169a ^ 2 + 240ab + 169b ^ 2#

両端から左側を引くと、

#0 =（240-26k）ab +（169-k ^ 2）b ^ 2#

#色（白）（0）= b（（240-26k）a +（169-k ^ 2）b）#

以来 #b> 0# 我々が必要とします：

#（240-26k）a +（169-k ^ 2）b = 0#

それから #a、b> 0# 我々は必要 #（240-26k）# そして #（169-k ^ 2）# 反対のサインがある。

いつ 1、9#の#k 両方 #240-26k# そして #169-k ^ 2# ポジティブです。

いつ #k in 10、12# 我々は気づく #240-26k <0# そして #169-k ^ 2> 0# 要求に応じ。

だからの最小可能値 #k# です #10#.

その後：

#-20a + 69b = 0#

それから #20# そして #69# より大きい共通因子がない #1#の最小値 #a# そして #b# あります #69# そして #20# それぞれ。