テイラー級数f（x）= arctan（x）とは何ですか？

#f（x）= sum_ {n = 1} ^ infty（-1）^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1}#

詳細を見てみましょう。

#f（x）= arctanx#

#f '（x）= 1 / {1 + x ^ 2} = 1 / {1 - （ - x ^ 2）}#

幾何学的級数シリーズ

#1 / {1-x} = sum_ {n = 0} ^貧弱なx ^ n#

取り替えることによって #バツ# によって #-x ^ 2#, #Rightarrow 1 / {1 - （ - x ^ 2）} = sum_ {n = 0} ^ infty（-x ^ 2）^ n = sum_ {n = 0} ^ infty（-1）^ nx ^ {2n} #

そう、

#f '（x）= sum_ {n = 0} ^ infty（-1）^ nx ^ {2n}#

統合することによって、

#f（x）= int sum_ {n = 0} ^ infty（-1）^ nx ^ {2n} dx#

積分の内側に整数の符号を入れることによって、

#= sum_ {n = 0} ^不正な整数（-1）^ n x ^ {2n} dx#

力の法則によって、

#= sum_ {n = 1} ^ infty（-1）^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} + C#

から #f（0）= arctan（0）= 0#, #f（0）= sum_ {n = 1} ^ infty（-1）^ n {（0）^ {2n + 1}} / {2n + 1} + C = C右C = 0#

したがって、

#f（x）= sum_ {n = 1} ^ infty（-1）^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1}#