普通は学校では教えられないことを知っていますか。

回答：

次のような「指数の塔」を評価する方法 #2^(2^(2^2))#、そして最後の数字の作り方 #2 ^ n、# #ninNN#.

説明：

これらの「塔」を評価するために、私たちは一番上から始めて私たちの道を歩みます。

そう：

#2^(2^(2^2))=2^(2^4)=2^16=65,536#

似ていますが、やや無関係なメモで、私はまた、最後の数字を計算する方法を知っています #2# 任意の自然指数に上げられます。の最後の桁 #2# 何かに上げると、常に4つの値の間を循環します。 #2,4,8,6#.

#2^1=2,# #2^2=4,# #2^3=8,# #2^4=16#

#2^5=32,# #2^6=64,# #2^7=128,# #2^8=256#

あなたがの最後の桁を見つけたいのであれば #2 ^ n#、それがサイクルのどの位置にあるかを見つければ、最後の桁がわかります。

回答：

もし #n> 0# そして #a# の近似です #sqrt（n）#そして：

#sqrt（n）= a + b /（2a + b /（2a + b /（2a + b /（2a + b /（2a + …）））））#

どこで #b = n-a ^ 2#

説明：

ある数の平方根を求めたいとしましょう。 #n> 0#.

さらにその結果が、各ステップで繰り返されるある種の継続的な分数であることを望みます。

試してください：

#sqrt（n）= a + b /（2a + b /（2a + b /（2a + b /（2a + b /（2a + …）））））#

#色（白）（sqrt（n））= a + b /（a + a + b /（2a + b /（2a + b /（2a + b /（2a + …）））））#

#色（白）（sqrt（n））= a + b /（a + sqrt（n））#

引き算 #a# 両端から得るために：

#sqrt（n）-a = b /（a + sqrt（n））#

両側を掛ける #sqrt（n）+ a# 取得するため：

#b =（sqrt（n）-a）（sqrt（n）+ a）= n-a ^ 2#

もしそうなら #a ^ 2# は少し小さいです #n#それから #b# 小さくなり、連続分数はより早く収束します。

たとえば、 #n = 28# そして選ぶ #a = 5#それなら、

#b = n-a ^ 2 = 28-5 ^ 2 = 28-25 = 3#

そう：

#sqrt（28）= 5 + 3 /（10 + 3 /（10 + 3 /（10 + 3 /（10 + 3 /（10 + …）））））#

これにより近似値が得られます。

#sqrt（28）~~ 5 + 3/10 = 5.3#

#sqrt（28）~~ 5 + 3 /（10 + 3/10）= 545/103 ~~ 5.29126#

#sqrt（28）~~ 5 + 3 /（10 + 3 /（10 + 3/10））= 5609/1060 ~~ 5.2915094#

電卓が教えてくれる #sqrt（28）~~ 5.291502622#

だからこれは特に早く収束していません。

代わりに、私達は置くかもしれません #n = 28# そして #a = 127/24# 見つけるには：

#b = n-a ^ 2 = 28-127 ^ 2/24 ^ 2 = 28-16129 / 576 =（16128-16129）/ 576 = -1 / 576#

そう：

#sqrt（28）= 127 / 24-（1/576）/（127 / 12-（1/576）/（127 / 12-（1/576）/（127/12 -…）））#

近似を与える：

#sqrt（28）~~ 127/24 = 5.291bar（6）#

#sqrt（28）~~ 127 / 24-（1/576）/（127/12）= 32257/6096 ~~ 5.29150262467#

それはずっと速く収束しています。

回答：

再帰的に定義されたシーケンスを使用して平方根への近似を見つけることができます。

説明：

#色（白）（）#

メソッド

正の整数 #n# これは完全な正方形ではありません：

• みましょう #p = floor（sqrt（n））# 二乗を超えない最大の正の整数 #n#.

• みましょう #q = n-p ^ 2#

• 次のようにして整数のシーケンスを定義します。

  #{（a_1 = 1）、（a_2 = 2p）、（a_（i + 2）= 2pa_（i + 1）+ qa_i "i> = 1の場合）：}#

その場合、シーケンスの連続する用語間の比率は、 #p + sqrt（n）#

#色（白）（）#

例

みましょう #n = 7#.

それから #p = floor（sqrt（7））= 2#以来、 #2^2=4 < 7# しかし #3^2 = 9 > 7#.

それから #q = n-p ^ 2 = 7-2 ^ 2 = 3#

だから私たちのシーケンスは始まります：

#1, 4, 19, 88, 409, 1900, 8827, 41008,…#

理論的には、連続する用語間の比率は、 #2 + sqrt（7）#

どれどれ：

#4/1 = 4#

#19/4 = 4.75#

#88/19 ~~ 4.63#

#409/88 ~~ 4.6477#

#1900/409 ~~ 4.6455#

#8827/1900 ~~ 4.645789#

#41008/8827 ~~ 4.645746#

ご了承ください #2 + sqrt（7）~~ 4.645751311#

#色（白）（）#

使い方

与えられた値で定義されたシーケンスがあるとします。 #a_1、a_2# そして規則：

#a_（n + 2）= 2 p a_（n + 1）+ q a_n#

いくつかの定数 #p# そして #q#.

次の方程式を考えてください。

#x ^ 2-2px-q = 0#

この方程式の根は次のとおりです。

#x_1 = p + sqrt（p ^ 2 + q）#

#x_2 = p-sqrt（p ^ 2 + q）#

それから一般的な用語を持つ任意のシーケンス #Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n# 指定した繰り返しルールを満たします。

次に解決します。

#{（Ax_1 + Bx_2 = a_1）、（Ax_1 ^ 2 + Bx_2 ^ 2 = a_2）：}#

にとって #A# そして #B#.

我々は気づく：

#a_1x_2-a_2 = Ax_1（x_2-x_1）#

#a_1x_1-a_2 = Bx_2（x_1-x_2）#

それゆえ：

#A =（a_1x_2-a_2）/（x_1（x_2-x_1））#

#B =（a_1x_1-a_2）/（x_2（x_1-x_2））#

だからこれらの値で #x_1、x_2、A、B# 我々は持っています：

#a_n = Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n#

もし #q <3p ^ 2# それから #abs（x_2）<1# そして連続した用語間の比率は #x_1 = p + sqrt（p ^ 2 + q）#

回答：

モジュール分割

説明：

モジュラー除算は、答えが実際の値ではなく残りであることを除けば、除算とまったく同じです。ではなく #-:# シンボル、あなたは #%# シンボル。

例えば、通常、あなたが解決しようとしていたら #16-:5# あなたが得るだろう #3# 残り #1# または #3.2#。ただし、モジュラー除算を使用すると、 #16%5=1#.

回答：

総和を用いた正方形の評価

説明：

通常は、次のような正方形を知っているべきです。 #5^2=25#。ただし、数値が大きくなると、 #25^2#頭の上から知るのは難しくなります。

しばらくして、正方形は奇数の合計に過ぎないことに気づきました。

私が言っているのはこれです。

#sum_（n = 0）^ k 2n + 1# どこで #k# 基本値からマイナス #1#

そう #5^2# 次のように書くことができます。

#sum_（n = 0）^ 4 2n + 1#

それはあなたを与えるでしょう：

#1+3+5+7+9#

これは、実際には #25#.

数は常に次のように増えていくので #2#最初の番号と最後の番号を足した後に、 #k / 2#.

だから #25^2#

#sum_（n = 0）^ 24 2n + 1 = 1 + 3 + … + 49#

だから私はただできる #(49+1)(25/2)# そして得る #25^2# どちらですか #625#.

実際には実用的ではありませんが、知っておくと面白いです。

#色（白）（）#

ボーナス

知っています：

#n ^ 2 =オーバーブレース（1 + 3 + 5 + … +（2n-1））^ "n項" =（（1+（2n-1））/ 2）^ 2#

二乗の違いに関するいくつかの問題を解決することができます。

たとえば、正の整数のすべての解は何ですか #m、n# の #m ^ 2-n ^ 2 = 40# ?

これは、連続する奇数整数の合計が何になるかを見つけることに帰着する #40#…

#40 =オーバーブレース（19 + 21）^ "平均20"#

#色（白）（40）=（1 + 3 + … + 21） - （1 + 3 + … + 17）#

#色（白）（40）=（（1 + 21）/ 2）^ 2 +（（1 + 17）/ 2）^ 2#

#色（白）（40）= 11 ^ 2-9 ^ 2#

#40 =オーバーブレース（7 + 9 + 11 + 13）^ "平均10"#

#色（白）（40）=（1 + 3 + … + 13） - （1 + 3 + 5）#

#色（白）（40）=（（1 + 13）/ 2）^ 2 - （（1 + 5）/ 2）^ 2#

#色（白）（40）= 7 ^ 2-3 ^ 2#