89の平方根は何ですか？

回答：

の平方根 #89# 二乗したときに与える数 #89#.

#sqrt（89）~~ 9.434#

以来 #89# 素数です、 #sqrt（89）# 単純化することはできません。

ニュートンラプソン法を使って近似することができます。

次のように少し再定式化します。

みましょう #n = 89# 平方根が欲しい数になります。

選ぶ #p_0 = 19#, #q_0 = 2# そのため #p_0 / q_0# は合理的な有理近似です。私はこれらの特定の値を選んだ #89# の中間点です #9^2 = 81# そして #10^2 = 100#.

式を使って繰り返します。

#p_（i + 1）= p_i ^ 2 + n q_i ^ 2#

#q_（i + 1）= 2 p_i q_i#

これにより、より合理的な近似が得られます。

そう：

#p_1 = p_0 ^ 2 + n q_0 ^ 2 = 19 ^ 2 + 89 * 2 ^ 2 = 361 + 356 = 717#

#q_1 = 2 p_0 q_0 = 2 * 19 * 2 = 76#

したがって、ここでやめれば、次のようになります。

#sqrt（89）~~ 717/76 ~~ 9.434#

もう一歩踏み出しましょう。

#p_2 = p_1 ^ 2 + n q_1 ^ 2 = 717 ^ 2 + 89 * 76 ^ 2 = 514089 + 514064 = 1028153#

#q_2 = 2 p_1 q_1 = 2 * 717 * 76 = 108984#

だから我々は近似値を得る：

#sqrt（89）~~ 1028153/108984 ~~ 9.43398113#

このニュートンラプソン法は高速に収束します。

#色（白）（）#

実際には、かなり良い単純な近似 #sqrt（89）# です #500/53#以来、 #500^2 = 250000# そして #89 * 53^2 = 250001#

#sqrt（89）~~ 500/53 ~~ 9.43396#

これに反復ステップを1つ適用すると、より良い近似値が得られます。

#sqrt（89）~~ 500001/53000 ~~ 9.4339811321#

#色（白）（）#

脚注

正の整数のすべての平方根には分数展開の繰り返しがあります。これを使用して有理近似を得ることもできます。

ただし、 #sqrt（89）# 継続的な分数展開は少し面倒ですので、それを使うのはあまり良くありません。

#sqrt（89）= 9; bar（2、3、3、2、18） = 9 + 1 /（2 + 1 /（3 + 1 /（3 + 1 /（2 + 1 /（18 + 1 /（2 + 1 /（3）） + …）））））））#

近似 #500/53# 上記は #9; 2, 3, 3, 2#