ここで状況は以下の通りです、
だから、しばらくしてみましょう #t# その動きの、それは高さに達する #a#垂直運動を考えると、
と言えます、
#a =（usinθ）t -1/2 g t ^ 2# (#u# 発射体の投影速度です）
これを解くと、
#t =（2usinθ_ - ^ + sqrt（4u ^ 2 sin ^2θ-8ga））/（2g）#
だから、の1つの値（小さい方） #t = t# 到達させる時間を提案している #a# 上りながらもう一方（大きい方） #t = t '# 降りながら（しましょう）。
それで、この時間間隔で発射体が水平に移動した距離を言うことができます #2a#, だから、私たちは書くことができます、 #2a = u cos theta（t'-t）#
値を入れて整理すると、
#u ^ 4 sin ^ 22θ-8gau ^ 2cos ^2θ-4a ^ 2g ^ 2 = 0#
を解決する #u ^ 2#、我々が得る、
#u ^ 2 =（8gacos ^2θ_- ^ + sqrt（64g ^ 2a ^ 2cos ^4θ+ 16a ^ 2g ^ 2sin ^ 22θ））/（2 sin ^ 22θ）#
元に戻す #sin 2theta = 2 sin theta cos theta# 我々が得る、
#u ^ 2 =（8gacos ^ 2シータ_- ^ + sqrt（64g ^ 2a ^ 2 cos ^ 4シータ+ 64a ^ 2g ^ 2sin ^ 2シータcos ^ 2シータ））/（2 sin ^ 2 2シータ）#
または、 #u ^ 2 =（8ga cos ^2θ+ sqrt（64g ^ 2a ^ 2cos ^2θ（cos ^2θ+ sin ^2θ）））/（2sin ^ 22θ）=（8gacos ^2θ+ 8agcosθ） ）/（2 sin ^ 22θ）=（8agcostheta（cosθ+ 1））/（2 sin ^ 22θ）#
今、発射体の動きの範囲の公式は、 #R =（u ^ 2 sin 2 theta）/ g#
そのため、得られた値に #u ^ 2# と #（sin 2 theta）/ g#、我々が得る、
#R =（2a（cosθ+ 1））/sinθ=（2a * 2 cos ^ 2（θ/ 2））/（2 sin（θ/ 2）cos（θ/ 2））= 2a cot（θ） / 2）#
