67の平方根は何ですか？

回答：

#67# 素数であり、因数分解することはできません……

説明：

………したがって #67^(1/2)# #=# #+ - sqrt67#.

回答：

#sqrt（67）~~ 34313/4192 ~~ 8.185353#

説明：

#67# 素数なので、特に二乗係数はありません。そのため、その平方根は非合理的で単純化できません。

有理近似を見つけるために使用できるいくつかの方法があります。

これがバビロニア法に基づく方法です。

数の平方根を求める #n#初期近似を選択する #p_0 / q_0# どこで #p_0、q_0# 整数です。

次に、次の公式を繰り返し適用してより良い近似値を求めます。

#{（p_（i + 1）= p_i ^ 2 + n q_i ^ 2）、（q_（i + 1）= 2 p_i q_i）：}#

我々の例では、 #n = 67#, #p_0 = 8# そして #q_0 = 1#以来、 #8^2 = 64# かなり近い #67#。その後：

#{（p_1 = p_0 ^ 2 + n q_0 ^ 2 = 8 ^ 2 + 67 * 1 ^ 2 = 64 + 67 = 131）、（q_1 = 2 p_0 q_0 = 2 * 8 * 1 = 16）：}#

#{（p_2 = p_1 ^ 2 + n q_1 ^ 2 = 131 ^ 2 + 67 * 16 ^ 2 = 17161 + 17152 = 34313）、（q_2 = 2 p_1 q_1 = 2 * 131 * 16 = 4192）：}#

ここでやめれば、

#sqrt（67）~~ 34313/4192 ~~ 8.185353#

これは正確です #6# 小数位。