それぞれ質量Ｍおよび長さＬの３本の棒が一緒に結合されて正三角形を形成する。重心を通り、三角形の平面に垂直な軸を中心とするシステムの慣性モーメントは何ですか？

回答：

#1/2 ML ^ 2#

説明：

単一の棒の中心を通りそれに垂直な軸を中心とした単一の棒の慣性モーメントは

#1/12 ML ^ 2#

三角形の中心を通りその平面に垂直な軸を中心とする正三角形の各辺の

#1 / 12ML ^ 2 + M（L /（2sqrt3））^ 2 = 1/6 ML ^ 2#

（平行軸定理による）

この軸を中心とした三角形の慣性モーメントは、

#3×1/6 ML ^ 2 = 1/2 ML ^ 2#

棒が細いと仮定すると、各棒の重心位置は棒の中心にある。ロッドが正三角形を形成するので、システムの質量中心は三角形の重心になります。

みましょう #d# 側面のいずれかから重心までの距離を指定します。

#d /（L / 2）= tan30#

#=> d = L / 2tan30#

#=> d = L /（2sqrt3）# …..(1)

平行軸サーモアを使用して、三角形の平面に垂直な重心を通る軸を中心とした単一ロッドの慣性モーメントは、

#I_ "rod" = I_ "cm" + Md ^ 2#

同様に配置された3本のロッドがあるため、3本のロッドの合計慣性モーメントは次のようになります。

#I_ "システム" = 3（I_ "cm" + Md ^ 2）#

#=> I_ "システム" = 3I_ "cm" + 3Md ^ 2# …….(2)

（1）を使った第2項は

#3Md ^ 2 = 3M（L /（2sqrt3））^ 2#

#=> 3Md ^ 2 = 1 / 4ML ^ 2# …..(3)

1本の棒の重心周りの慣性モーメントは

#I_ "cm" = 1 / 12ML ^ 2#

（2）の第1項は

#3I_ "cm" = 3xx1 / 12ML ^ 2 = 1 / 4ML ^ 2# ….(4)

（3）と（4）を使用すると、式（2）は次のようになります。

#I_ "システム" = 1 / 4ML ^ 2 + 1 / 4ML ^ 2 = 1 / 2ML ^ 2 kgm ^ 2#