回答：
次の2つ以上の保留を提供します。
#x ^ 2> = y ^ 2 "" y ^ 2> = z ^ 2 "" z ^ 2> = x ^ 2#
説明：
ご了承ください：
#（x ^ 2-y ^ 2）+（y ^ 2-z ^ 2）+（z ^ 2-x ^ 2）#
#=色（赤）（キャンセル（色（黒）（x ^ 2））） - 色（赤）（キャンセル（色（黒）（x ^ 2）））+色（紫）（キャンセル（色（黒） ）（y ^ 2）） - 色（紫）（キャンセル（色（黒）（y ^ 2）））+色（紫）（キャンセル（色（黒）（z ^ 2））） - 色（紫） ）（キャンセル（色（黒）（z ^ 2）））= 0#
それでは、二乗したときに何が起こるか見てみましょう。
#sqrt（x ^ 2-y ^ 2）+ sqrt（y ^ 2-z ^ 2）+ sqrt（z ^ 2-x ^ 2）#
二乗された用語がキャンセルされるので…
#（sqrt（x ^ 2-y ^ 2）+ sqrt（y ^ 2-z ^ 2）+ sqrt（z ^ 2-x ^ 2））^ 2#
#=（sqrt（x ^ 2-y ^ 2））^ 2+（sqrt（y ^ 2-z ^ 2））^ 2+（sqrt（z ^ 2-x ^ 2））^ 2 + 2sqrt（（ y ^ 2-z ^ 2）（z ^ 2-x ^ 2））+ 2sqrt（（z ^ 2-x ^ 2）（x ^ 2-y ^ 2））+ 2sqrt（（x ^ 2-y ^） 2）（y ^ 2-z ^ 2））#
#=色（赤）（キャンセル（色（黒）（（x ^ 2-y ^ 2）+（y ^ 2-z ^ 2）+（z ^ 2-x ^ 2）））））+ 2sqrt（（ y ^ 2-z ^ 2）（z ^ 2-x ^ 2））+ 2sqrt（（z ^ 2-x ^ 2）（x ^ 2-y ^ 2））+ 2sqrt（（x ^ 2-y ^） 2）（y ^ 2-z ^ 2））#
#= 2（sqrt（（y ^ 2-z ^ 2）（z ^ 2-x ^ 2））+ sqrt（（z ^ 2-x ^ 2）（x ^ 2-y ^ 2））+ sqrt（ （x ^ 2-y ^ 2）（y ^ 2-z ^ 2）））#
だから私たちが欲しい平方根は：
#sqrt（2）/ 2（sqrt（x ^ 2-y ^ 2）+ sqrt（y ^ 2-z ^ 2）+ sqrt（z ^ 2-x ^ 2））#
ノート
上記の答えは、多かれ少なかれ以下を仮定しています。
#sqrt（a）sqrt（b）= sqrt（ab）#
これが成り立つ一方で、
これは、たとえば次の場合に上記の導出で発生する可能性があります。
#0 <x ^ 2 <y ^ 2 <z ^ 2#
それから我々は見つけます：
#sqrt（x ^ 2-y ^ 2）sqrt（y ^ 2-z ^ 2）= -sqrt（（x ^ 2-y ^ 2）（y ^ 2-z ^ 2））#
…私たちが必要としているものと反対のサイン。