回答:
#cos(x + y)=(a ^ 2 + b ^ 2)/ 2-1#
説明:
まず、何を思い出して #cos(x + y)# です:
#cos(x + y)= cosxcosy + sinxsiny#
ご了承ください:
#(sinx + siny)^ 2 = a ^ 2#
# - > sin ^ 2x + 2sinxsiny + sin ^ 2y = a ^ 2#
そして:
#(cosx +こじんまり)^ 2 = b ^ 2#
# - > cos ^ 2x + 2 cosxcosy + cos ^ 2y = b ^ 2#
今、私たちはこれら二つの方程式を持っています:
#sin ^ 2x + 2sinxsiny + sin ^ 2y = a ^ 2#
#cos ^ 2x + 2 cosxcosy + cos ^ 2y = b ^ 2#
それらを足し合わせると、次のようになります。
#sin ^ 2x + 2sinxsiny + sin ^ 2y + cos ^ 2x + 2cosxcosy + cos ^ 2y = a ^ 2 + b ^ 2#
この式の大きさであなたを見捨ててはいけません。アイデンティティーと単純化を探します。
#(sin ^ 2x + cos ^ 2x)+(2sinxsiny + 2cosxcosy)+(cos ^ 2y + sin ^ 2y)= a ^ 2 + b ^ 2#
以来 #sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1# (ピタゴラスのアイデンティティ)と #cos ^ 2y + sin ^ 2y = 1# (ピタゴラスのアイデンティティ)、我々は方程式を単純化することができます:
#1 +(2シンシニー+ 2コシスコシ)+ 1 = a ^ 2 + b ^ 2#
# - >(2sinxsiny + 2cosxcosy)+ 2 = a ^ 2 + b ^ 2#
我々は除外することができます #2# 2回
#2(sinxsiny + cosxcosy)+ 2 = a ^ 2 + b ^ 2#
# - > 2((sinxsiny + cosxcosy)+1)= a ^ 2 + b ^ 2#
そして分ける:
#(sinxsiny + cosxcosy)+ 1 =(a ^ 2 + b ^ 2)/ 2#
そして引きます:
#sinxsiny + cosxcosy =(a ^ 2 + b ^ 2)/ 2-1#
最後に #cos(x + y)= cosxcosy + sinxsiny#、 我々は持っています:
#cos(x + y)=(a ^ 2 + b ^ 2)/ 2-1#
与えられた
#sinx + siny = a …….(1)#
#cosx + cosy = b …….(2)#
(1)と(2)を二乗して追加する
#(cosx + cosy)^ 2 +(sinx + siny)^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2#
#=> 2(cosxcosy + sinxsiny)+ 2 = a ^ 2 + b ^ 2#
#=> 2cos(x-y)= a ^ 2 + b ^ 2-2 ….(3)#
(2)から(1)を二乗して減算する
#(cosx +居心地の良い)^ 2-(sinx + siny)^ 2 = b ^ 2-a ^ 2#
#=> 2cos(x + y)+ cos ^ 2x-sin ^ 2x + cos ^ 2y-sin ^ 2y = b ^ 2-a ^ 2#
#=> 2cos(x + y)+ cos2x + cos2y = b ^ 2-a ^ 2#
#=> 2cos(x + y)+ 2cos(x + y)cos(x-y)= b ^ 2-a ^ 2#
#=> cos(x + y)(2 + 2cos(x-y))= b ^ 2-a ^ 2#
(# "From(3)" 2cos(x-y)= a ^ 2 + b ^ 2-2#)
#=> cos(x + y)(2 + b ^ 2 + a ^ 2-2)= b ^ 2-a ^ 2#
#=> cos(x + y)(b ^ 2 + a ^ 2)= b ^ 2-a ^ 2#
#=> cos(x + y)=(b ^ 2-a ^ 2)/(b ^ 2 + a ^ 2)#
回答:
#cos(x + y)=(b ^ 2-a ^ 2)/(b ^ 2 + a ^ 2)#.
説明:
#sinx + siny = a rArr 2 sin((x + y)/ 2)cos((x-y)/ 2)= a ………(1)#.
#cosx + cosy = b rArr 2cos((x + y)/ 2)cos((x-y)/ 2)= b ……….(2)#.
分ける #(1)# によって #(2)#、 我々は持っています、 #tan((x + y)/ 2)= a / b#.
今、 #cos(x + y)= {1-tan ^ 2((x + y)/ 2)} / {1 + tan ^ 2((x + y)/ 2)}#
#=(1-a ^ 2 / b ^ 2)/(1 + a ^ 2 / b ^ 2)=(b ^ 2-a ^ 2)/(b ^ 2 + a ^ 2)#.
数学をお楽しみください。