回答：
範囲は #R =（-infty、-1/2 uu 1/6、+ infty）#
説明：
分母はいつでも未定義であることに注意してください
#4 sin（x）+ 2 = 0#, それはいつでも
#x = x_（1、n）= pi / 6 + n 2pi#
または
#x = x_（2、n）=（5 pi）/ 6 + n 2pi#, どこで ZZ#の#n (#n# 整数です。
として #バツ# アプローチ #x_（1、n）# 下から、 #f（x）# アプローチ # - 貧弱な#の間、 #バツ# アプローチ #x_（1、n）# 上から #f（x）# アプローチ #+貧弱な#。これは「ほぼ #-0# または #+0#'.
にとって #x_（2、n）# 状況は逆になります。として #バツ# アプローチ #x_（2、n）# 下から、 #f（x）# アプローチ #+貧弱な#の間、 #バツ# アプローチ #x_（2、n）# 上から #f（x）# アプローチ #-infty#.
次のような一連の間隔が得られます。 #f（x）# プロットからわかるように、は連続的です。最初に「ボール」を考えてみてください（その終わりに関数は爆発します #+貧弱な#）これらの区間で極小値を見つけることができれば、 #f（x）# この値から #+貧弱な#。 「逆さまのボウル」、または「キャップ」についても同じことができます。
の分母がであるときはいつでも最小の正の値が得られることに注意してください。 #f（x）# できるだけ大きい、それが #sin（x）= 1#。だから我々はの最小の正の値が #f（x）# です #1/(4*1 + 2) = 1/6#.
最大の負の値も同様に次のようになります。 #1/(4*(-1) + 2) = -1/2#.
の継続性による #f（x）# 不連続点間の間隔と中間値定理では、 #f（x）# です
#R =（-infty、-1/2 uu 1/6、+ infty）#
大括弧は、その数が間隔に含まれることを意味します（例： #-1/2#）の間、ソフトカッコは数字が含まれていないことを意味します。
グラフ{1 /（4sin（x）+ 2）-10、10、-5、5}
