回答：
変更を試してください #x = tan u#
下記参照
説明：
私達はことを知っています #1 + tan ^ 2 u = sec ^ 2u#
提案された変更により、
#dx = sec ^ 2u du#。積分で代用しましょう
#intdx /（1 + x ^ 2）^（3/2）= intsec ^ 2u /（1 + tan ^ 2u）^（3/2）du = intsec ^ 2u / sec ^ 3udu = int1 / secudu = intcosudu = sinu + C#
したがって、変更を元に戻します。
#u = arctanx# そして最後に
#sin u + C = sin（arctanx）+ C#
回答：
#色（青）（整数/（1 + x ^ 2）^（3/2）= x /平方根（1 + x ^ 2）+ C）#
説明：
この積分を解くために三角法置換を使ってみましょう。そうするために、直角三角形を作成します。 #デルタABC# ピタゴラスの公式を使用して、次のように積分の引数で現在見ている式を導き出すことができるように、側面にラベルを付けます。
角度 #/ _ B =シータ# 反対側 #バツ# と隣 #1#。ピタゴラスの公式を使う：
#（BC）^ 2 =（AB）^ 2 +（AC）^ 2# 結果は次のとおりです。
#（BC）^ 2 = 1 ^ 2 + x ^ 2 = 1 + x ^ 2#
#BC = sqrt（1 + x ^ 2# 示されているように。
それでは、次の3つの最も基本的な三角関数を書きましょう。 #シータ#:
#sintheta = x / sqrt（1 + x ^ 2）#
#costheta = 1 /平方メートル（1 + x ^ 2）#
#tantheta = x / 1 = x#
さて、これらの方程式を使って、三角関数の項でさまざまな整数引数を解く必要があります。使ってみよう #タンテータ#:
#tantheta = x#
両側の派生物を取りましょう：
#sec ^ 2シータdシータ= dx#
から #costheta# 方程式、我々は解くことができます #sqrt（1 + x ^ 2）#:
#sqrt（1 + x ^ 2）= 1 / costheta = sectheta#
この式の両側をのべき乗にすると #3# 我々が得る：
#sec ^3θ=（sqrt（1 + x ^ 2））^ 3 =（（1 + x ^ 2）^（1/2））^ 3 =（1 + x ^ 2）^（3/2）#
これで、計算したものを問題積分に代入して、それを三角積分に変えることができます。
#intdx /（1 + x ^ 2）^（3/2）= int（sec ^2θ）/ sec ^3θ= intsec ^2θ/（secthetasec ^2θ）dθ= intcancelcolor（赤）（sec ^2θ） /（secthetacancelcolor（赤）（sec ^ 2theta））d theta = int1 / secthetad theta = int1 /（1 / costheta）d theta = intcosthetad theta = sintheta + C#
今、我々は代用することができます #シンテタ# そして、我々の答えをの代数的表現に戻す。 #バツ#:
#色（青）（整数/（1 + x ^ 2）^（3/2）= x /平方根（1 + x ^ 2）+ C）#
