回答：
#int e ^ x cos（x） "d" x = 1 / 2e ^ x（sin（x）+ cos（x））+ C#
説明：
#I = int e ^ x cos（x） "d" x#
部品による統合を使用します。 #int u "d" v = uv-int v "d" u#.
部品による統合を使用して、 #u = e ^ x#, #du = e ^ x "d" x#, # "d" v = cos（x） "d" x#、そして #v = sin（x）#:
#I = e ^ xsin（x）-int e ^ xsin（x） "d" x#
2番目の積分に対して、部分積分をもう一度使います。 #u = e ^ x#, # "d" u = e ^ x "d" x#, # "d" v = sin（x） "d" x#、そして #v = -cos（x）#:
#I = e ^ xsin（x）+ e ^ xcos（x）-int e ^ xcos（x） "d" x#
さて、定義したことを思い出してください。 #I = int e ^ x cos（x） "d" x#。したがって、上記の式は次のようになります（積分定数を追加することを忘れないでください）。
#I = e ^ xsin（x）+ e ^ xcos（x）-I + C#
#2I = e ^ xsin（x）+ e ^ xcos（x）+ C = e ^ x（sin（x）+ cos（x））+ C#
#I = 1 / 2e ^ x（sin（x）+ cos（x））+ C#
回答：
下記参照。
説明：
de Moivreのアイデンティティを使う
#e ^（ix）= cos x + i sin x# 我々は持っています
#int e ^ x cos x dx = "Re" int e ^ x（cos x + i sin x）dx = "Re" int e ^（x + ix）dx#
しかし #int e ^（（1 + i）x）dx = 1 /（1 + i）e ^（（1 + i）x）=（1-i）/ 2 e ^ x e ^（ix）=#
#=（1-i）/ 2e ^ x（cos x + isinx）= 1 / 2e ^ x（cos x + sin x）+ i 1/2 e ^ x（sin x -cos x）#
そして最後に
#int e ^ x cos x dx = 1 / 2e ^ x（cosx + sinx）+ C#
