回答：
ポイント #(0,0),(1,0)#、そして #(0,1)# 鞍点です。ポイント #(1/3,1/3)# 極大点です。
説明：
拡大できます #f# に #f（x、y）= xy-x ^ 2y-xy ^ 2#。次に、偏導関数を見つけ、それらをゼロに設定します。
# frac { partial f} { partial x} = y-2xy-y ^ 2 = y（1-2x-y）= 0#
# frac { partial f} { partial y} = x-x ^ 2-2xy = x（1-x-2y）= 0#
明らかに #（x、y）=（0,0）、（1,0）、# そして #(0,1)# このシステムに対する解決策であり、また #f#。他の解決策はシステムから見つけることができます #1-2x-y = 0#, #1-x-2y = 0#。の最初の方程式を解く #y# の面では #バツ# 与える #y = 1-2x#これは2番目の式に代入して得ることができます #1-x-2（1-2x）= 0 => -1 + 3x = 0 => x = 1/3#。これから、 #y = 1-2（1/3）= 1-2 / 3 = 1/3# 同様に。
これらの重要な点の性質をテストするために、2次導関数を見つけます。
# frac { partial ^ {2} f} { partial x ^ {2}} = - 2y#, # frac { partial ^ {2} f} { partial y ^ {2}} = - 2x#、そして # frac { partial ^ {2} f} { partial x partial y} = frac { partial ^ {2} f} { partial y partial x} = 1-2x-2y#.
したがって、判別式は次のようになります。
#D = 4xy-（1-2x-2y）^ 2#
# ４ｘｙ （１ ２ｘ ２ｙ ２ｘ ４ｘ ２ ４ｘｙ ２ｙ ４ｘｙ ４ｙ ２）#
#= 4x + 4y-4x ^ 2-4y ^ 2-4xy-1#
最初の3つの重要なポイントを接続すると次のようになります。
#D（0,0）= - 1 <0#, #D（1,0）= 4-4-1 = -1 <0#、そして #D（0,1）= 4-4-1 = -1 <0#これらの点を鞍点にする。
最後の重要なポイントを接続すると #D（1 / 3,1 / 3）= 4/3 + 4 / 3-4 / 9-4 / 9-4 / 9-1 = 1/3> 0#。また注意してください # frac { partial ^ {2} f} { partial x ^ {2}}（1 / 3,1 / 3）= - 2/3 <0#。したがって、 #(1/3,1/3)# の極大値の位置 #f#。極大値自体が #f（1 / 3,1 / 3）= 1/27#.
下の等高線図（レベル曲線）の写真 #f# （の出力がある曲線 #f# の4つの重要な点とともに #f#.
