F（x、y）= xye ^（ - x ^ 2-y ^ 2）の極値と鞍点は何ですか？

回答：

#(0,0)# サドルポイントです

#（1 /平方2、1 /平方2）# そして #（ - 1 /平方2、-1 /平方2）# 極大値です

#（1 /平方2、-1 /平方2）# そして #（ - 1 /平方2、1 /平方2）# 極小値である

#（0、午後1 /平方2）# そして #（午後1 / 2，0） 変曲点です。

説明：

一般的な機能のために #F（x、y）# に静止点がある #（x_0、y_0）# テイラー級数展開

#F（x_0 + xi、y_0 +η）= F（x_0、y_0）+ 1 /（2！）（F_ {xx} xi ^ 2 + F_ {yy}η^ 2 + 2F_ {xy} xi eta）+ ldots#

機能について

#f（x）= x y e ^ { - x ^ 2-y ^ 2}#

我々は持っています

#（del f）/（del x）= ye ^ { - x ^ 2-y ^ 2} + x y（-2x）e ^ { - x ^ 2-y ^ 2}#

#qquad = y（1-2x ^ 2）e ^ { - x ^ 2-y ^ 2}#

#（del f）/（del y）= xe ^ { - x ^ 2-y ^ 2} + x y（-2y）e ^ { - x ^ 2-y ^ 2}#

#qquad = x（1-2y ^ 2）e ^ { - x ^ 2-y ^ 2}#

最初の両方の導関数が次の点で消えるのは簡単です。

• #(0,0)#
• #（0、pm 1 / sqrt2）#
• #（pm 1 / sqrt2、0）#
• #（pm 1 / sqrt2、pm 1 / sqrt2）#

これらの静止点の性質を調べるために、そこで2次微分の振る舞いを見る必要があります。

今

#（del ^ 2 f）/（del x ^ 2）= y（-4x）e ^ { - x ^ 2-y ^ 2} + y（1-2x ^ 2）（-2x）e ^ { - x ^ 2-y ^ 2}#

#qquad = x y（4x ^ 2-6）e ^ { - x ^ 2-y ^ 2}#

そして同様に

#（del ^ 2 f）/（del y ^ 2）= xy（4y ^ 2-6）e ^ { - x ^ 2-y ^ 2}#

そして

#（del ^ 2 f）/（del xdel y）=（1-2y ^ 2）e ^ { - x ^ 2-y ^ 2} + x（1-2y ^ 2）（-2x）e ^ { - x ^ 2-y ^ 2}#

#qquad =（1-2x ^ 2-2y ^ 2 + 4x ^ 2y ^ 2）e ^ { - x ^ 2-y ^ 2}#

#qquad =（1-2x ^ 2）（1-2y ^ 2）e ^ { - x ^ 2-y ^ 2}#

だから #(0,0)# 我々は持っています #（del ^ 2 f）/（del x ^ 2）=（del ^ 2 f）/（del y ^ 2）= 0# そして #（del ^ 2 f）/（del x del y）= 1# - だから

#f（0 + xi、0 +η）= f（0,0）+ xi eta = xi eta#

近づいたら #(0,0)# 線に沿って #x = y#、これはこれになります

#f（0 + xi、0 + xi）= xi ^ 2#

など #(0,0)# あなたがこの方向から近づくならば、明らかに最小である。一方、線に沿って近づくと #x = -y# 我々は持っています

#f（0 + xi、0-xi）= -xi ^ 2#

など #(0,0)# この方向に沿った最大値

このように #(0,0)# です 鞍点.

にとって #（1 / sqrt2,1 / sqrt2）# それは容易に見られます

#（del ^ 2 f）/（del x ^ 2）=（del ^ 2 f）/（del y ^ 2）= -2e ^ { - 1/2} <0# そして #（del ^ 2 f）/（del x del y）= 0#

これはつまり

#f（1 / sqrt 2 + xi、1 / sqrt 2 + eta）= f（1 / sqrt 2,1 / sqrt 2）-e ^ { - 1/2（xi ^ 2 + eta ^ 2）}#

だから、あなたが離れていく方法は関数は減少します #（1 /平方2、1 /平方2）# これは 極大値。同じことが言えることは簡単にわかります #（ - 1 / sqrt2、-1 / sqrt2）# （これは明らかになっていたはずです。 #（x、y）から（-x、-y）#!

繰り返しますが、両方に #（1 / sqrt2、-1 / sqrt2）# そして #（ - 1 / sqrt2,1 / sqrt2）# 我々は持っています

#（del ^ 2 f）/（del x ^ 2）=（del ^ 2 f）/（del y ^ 2）= 2e ^ { - 1/2}> 0# そして #（del ^ 2 f）/（del x del y）= 0#

したがって、これらの点は両方とも極小値です。

４点 #（0、pm 1 / sqrt2）# そして #（pm 1 / sqrt2、0）# 二次導関数はすべてこれらの点で消滅するので、もっと問題がある。今度は高階デリバティブを見なければなりません。幸いなことに、私たちはこのためにそれほど努力する必要はありません。

#（del ^ 3 f）/（del x ^ 3）= -2y（3-12x ^ 2 + 4x ^ 4）e ^ { - x ^ 2-y ^ 2}#

どちらもゼロではない #（0、pm 1 / sqrt2）# そして #（pm 1 / sqrt2、0）#。さて、これはつまり、例えば

#f（0 + xi、1 / sqrt 2）= f（0,1 / sqrt 2）+1 / 3（（del ^ 3 f）/（del x ^ 3））_ {（0,1 / sqrt2） } xi ^ 3 + …#

これはこれがから増加することを示しています #f（0,1 /平方2）# 一方向に、そしてそれから他の方向に減少します。このように #（0,1 / sqrt2）# 変曲の**ポイントです。他の3つの点についても同じことが言えます。