F（x、y）= x ^ 2y-y ^ 2xの極値と鞍点は何ですか？

回答：

原点でのサドルポイント。

我々は持っています：

#f（x、y）= x ^ 2y -y ^ 2x#

そして偏微分を導きます。部分的に微分するときは、他の変数を定数として扱いながら問題の変数に対して微分することを忘れないでください。など：

#（部分f）/（部分x）= 2xy-y ^ 2 # そして # （部分f）/（部分y）= x ^ 2-2yx#

極値または鞍点で我々は持っています：

#（部分f）/（部分x）= 0 # そして # （部分f）/（部分y）= 0 # 同時に：

すなわち：の同時解決

#2xy-y ^ 2 = 0 => y（2x-y）= 0 => y = 0、x = 1 / 2y#

#x ^ 2-2yx = 0 => x（x-2y）= 0 => x = 0、x = 1 / 2y#

したがって、原点には重要な点が1つだけあります。 #(0,0)#。臨界点の性質を確立するために、多変数Taylorシリーズのアナリストと次のテスト結果が必要です。

#Delta =（部分的^ 2 f）/（部分的x ^ 2）（部分的^ 2 f）/（部分的y ^ 2） - {（部分的^ 2 f）/（部分的x部分y）} ^ 2 <0 =># 鞍点

それで、2番目の偏導関数を計算します。

#（部分^ 2f）/（部分x ^ 2）= 2y #;# （部分^ 2f）/（部分y ^ 2）= -2x # そして # （部分^ 2 f）/（部分x部分y）= 2x-2y#

そしていつ #x = 0、y = 0# 我々が得る：

#Delta =（0）（0） - {0-0} ^ 2 = 0#

つまり、標準サドルテストは包括的であり、さらなる分析が必要です。（これは通常、さまざまなスライスにわたる関数の符号を調べること、またはこの質問の範囲を超えている3番目の偏微分テストを見ることを含みます。）

3Dプロットを見て、臨界点が鞍点に対応するように見えるという簡単な結論を引き出すことができます。